8 Annexe : différentielle totale et dérivation implicite

Cette annexe donne un seul outil pour lire les courbes IS et LM : si une variable change un peu, de combien l’autre doit-elle changer pour rester à l’équilibre ?

8.1 Ce que désignent \(\mathrm{d}x\) et \(\mathrm{d}y\)

Partons d’un point de départ \((x_0,y_0)\). Le point d’arrivée est \((x,y)\). Nous notons :

\(\mathrm{d}x = x-x_0\), le petit changement de \(x\) ;
\(\mathrm{d}y = y-y_0\), le petit changement de \(y\).

Par exemple, si \(x_0=0{,}5\) et \(x=0{,}55\), alors \(\mathrm{d}x=0{,}05\). Le symbole \(\mathrm{d}\) ne désigne pas une nouvelle variable : il signale simplement que le changement est petit et que nous allons pouvoir l’approximer par une droite.

8.2 Un exemple chiffré : le cercle

Prenons le cercle de rayon \(1\) :

\[ x^2+y^2=1. \]

Choisissons \(x_0=0{,}5\) et restons sur la partie haute du cercle (\(y>0\)). Alors :

\[ y_0^2 = 1-0{,}5^2 = 0{,}75, \qquad y_0 = \sqrt{0{,}75} \simeq 0{,}866. \]

Augmentons maintenant \(x\) de \(0{,}05\). Donc \(\mathrm{d}x=0{,}05\) et \(x_1=0{,}55\). Si \(y\) ne changeait pas, nous aurions :

\[ 0{,}55^2+y_0^2 = 0{,}3025+0{,}75 = 1{,}0525 \ne 1. \]

Le point \((0{,}55,y_0)\) est sorti du cercle. Pour y revenir, \(y\) doit changer lui aussi. Notons \(y_1=y_0+\mathrm{d}y\), avec \(\mathrm{d}y\) inconnu et probablement négatif.

8.2.1 D’abord, le calcul exact

Le nouveau point doit vérifier :

\[ (0{,}5+0{,}05)^2+(y_0+\mathrm{d}y)^2=1. \]

Développons les carrés :

\[ \underbrace{x_0^2+2x_0\mathrm{d}x+(\mathrm{d}x)^2}_{(x_0+\mathrm{d}x)^2} + \underbrace{y_0^2+2y_0\mathrm{d}y+(\mathrm{d}y)^2}_{(y_0+\mathrm{d}y)^2} =1. \]

Comme le point de départ est sur le cercle, \(x_0^2+y_0^2=1\). Il reste donc, sans aucune approximation :

\[ 2x_0\mathrm{d}x+2y_0\mathrm{d}y+(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2=0. \]

Avec nos chiffres, \(2x_0\mathrm{d}x=0{,}05\) et \((\mathrm{d}x)^2=0{,}0025\), soit :

\[ 0{,}0525+2\times0{,}866\times\mathrm{d}y+(\mathrm{d}y)^2=0. \]

C’est une équation du second degré en \(\mathrm{d}y\). Sa solution compatible avec un petit changement est :

\[ \mathrm{d}y = -y_0+\sqrt{y_0^2-2x_0\mathrm{d}x-(\mathrm{d}x)^2} \simeq -0{,}0309. \]

Donc \(y_1 \simeq 0{,}8352\). C’est exact, mais avouez que c’est lourd : développer deux carrés, puis résoudre une équation du second degré avec une racine carrée, pour un si petit changement.

8.2.2 Ensuite, l’approximation par la tangente

L’idée est de remplacer chaque carré par sa tangente. Pour une fonction \(f\), près de \(x_0\) :

\[ f(x) \simeq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Appliquons cette idée à \(x^2\) et à \(y^2\) :

\(x^2 \simeq x_0^2+2x_0(x-x_0) = x_0^2+2x_0\mathrm{d}x\) ;
\(y^2 \simeq y_0^2+2y_0(y-y_0) = y_0^2+2y_0\mathrm{d}y\).

Le changement de \(x^2+y^2\) est donc approximativement \(2x_0\mathrm{d}x+2y_0\mathrm{d}y\). Comme le rayon ne change pas (\(\mathrm{d}R=0\)), ce changement doit être nul :

\[ 2x_0\mathrm{d}x+2y_0\mathrm{d}y \simeq 0. \]

Autrement dit, nous avons simplement effacé les termes \((\mathrm{d}x)^2\) et \((\mathrm{d}y)^2\), qui sont beaucoup plus petits que \(\mathrm{d}x\) et \(\mathrm{d}y\). D’où :

\[ \mathrm{d}y \simeq -\frac{x_0}{y_0}\mathrm{d}x. \]

Au point \((0{,}5\,;\,0{,}866)\) :

\[ \mathrm{d}y \simeq -\frac{0{,}5}{0{,}866}\times0{,}05 \simeq -0{,}0289, \qquad y_1 \simeq 0{,}8372. \]

Comparez : la valeur exacte est \(0{,}8352\). L’erreur est d’environ \(0{,}002\). La droite donne presque le bon point, avec une seule multiplication.

Figure 8.1: Le point exact reste sur le cercle ; l’approximation suit la tangente au point de départ. Pour un petit changement, les deux sont presque confondus.

8.3 La règle générale, en bref

Pour une relation \(F(x,y)=0\), le même raisonnement donne :

\[ F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y \simeq 0, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \simeq -\frac{F_x}{F_y}. \]

\(F_x\) et \(F_y\) sont simplement les dérivées partielles de \(F\) : \(2x\) et \(2y\) dans l’exemple du cercle.

S’il y a aussi un paramètre \(z\), comme dans \(F(x,y;z)=0\), alors :

\[ F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y+F_z\,\mathrm{d}z \simeq 0. \]

Deux questions seulement nous intéresseront :

Rester sur la même courbe : \(z\) ne change pas (\(\mathrm{d}z=0\)). On cherche la pente \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\).
Comparer deux courbes : \(z\) change (\(\mathrm{d}z\ne0\)). On fixe \(x\) ou \(y\) et on mesure l’écart entre l’ancienne et la nouvelle courbe.

8.4 Application : la courbe IS

L’équilibre sur le marché des biens s’écrit :

\[ Y=C(Y-T)+I(r)+G. \]

Posons :

\[ F^{IS}(Y,r;G,T)=Y-C(Y-T)-I(r)-G=0. \]

La règle à retenir

\(Y\) et \(r\) sont sur les axes du diagramme IS.

Si seuls \(Y\) et \(r\) changent, on se déplace le long d’une courbe IS donnée.
Si \(G\) ou \(T\) change, l’équation elle-même change : la courbe entière se déplace.

8.4.1 D’abord la surface, en trois dimensions

Prenons l’exemple :

\[ C=1+0{,}6(Y-0{,}5), \qquad I(r)=\frac{1}{r}. \]

L’équilibre devient :

\[ Y=1+0{,}6(Y-0{,}5)+\frac{1}{r}+G. \]

On peut l’écrire avec \(r\) en fonction de \(Y\) et \(G\) :

\[ r=\frac{1}{0{,}4Y-0{,}7-G}. \]

Chaque point de cette surface est une combinaison \((Y,G,r)\) compatible avec l’équilibre. Ici, \(Y\) est sur l’axe \(x\), \(G\) sur l’axe \(y\) et \(r\) sur l’axe vertical \(z\). Fixer \(G\), par exemple \(G=2\), revient donc à couper la surface par un plan parallèle au plan \((Y,r)\) : l’intersection a déjà la forme d’une courbe IS, avec \(Y\) à l’horizontale et \(r\) à la verticale.

Figure 8.2: La surface d’équilibre du marché des biens, avec \(Y\) à l’horizontale, \(G\) en profondeur et \(r\) à la verticale. Les plans \(G=2\) et \(G=2{,}5\) la découpent selon deux courbes IS.

8.4.2 Ensuite les deux courbes IS, en deux dimensions

Projetons ces deux intersections dans le plan \((Y,r)\). Entre deux points violets, seul \(Y\) et \(r\) changent avec \(G=2\) : c’est un mouvement le long de \(IS_0\). Entre le point violet et le point orange au même \(Y\), \(G\) passe de \(2\) à \(2{,}5\) : on compare deux courbes différentes.

Figure 8.3: Une variation de \(Y\) ou \(r\) déplace le point le long d’une courbe ; une variation de \(G\) déplace la courbe elle-même.

Avec la différentielle, en gardant \(T\) fixe et en notant \(c_1\) la propension marginale à consommer et \(I'(r)<0\) :

\[ (1-c_1)\,\mathrm{d}Y-I'(r)\,\mathrm{d}r-\mathrm{d}G \simeq 0. \]

Pente (même courbe, \(\mathrm{d}G=0\)) : \(\mathrm{d}r/\mathrm{d}Y=(1-c_1)/I'(r)<0\). Si \(Y\) augmente, \(r\) doit baisser.
Déplacement vertical (même \(Y\), \(\mathrm{d}Y=0\)) : une hausse de \(G\) demande une hausse de \(r\).
Déplacement horizontal (même \(r\), \(\mathrm{d}r=0\)) : \(\mathrm{d}Y/\mathrm{d}G=1/(1-c_1)>0\), le multiplicateur simple.

Le même test des axes s’applique à LM : \(Y\) et \(r\) donnent un mouvement le long de LM, tandis que \(M^s/P\) déplace la courbe.

8.5 Exercices avec corrigés

8.5.1 Exercice 1 : le cercle et l’approximation

Un point se trouve sur le cercle \(x^2+y^2=25\). Au point initial, \((x,y)=(3,4)\).

Si \(x\) augmente de \(\mathrm{d}x=0{,}1\), utilisez la différentielle totale pour approximer le petit changement \(\mathrm{d}y\) nécessaire afin de rester sur le cercle.
Calculez ensuite le changement exact de \(y\) et comparez-le à l’approximation.
Expliquez pourquoi les deux valeurs ne sont pas parfaitement identiques.

Corrigé. Au point \((3,4)\), \(\mathrm{d}F=2x\,\mathrm{d}x+2y\,\mathrm{d}y\). Pour rester approximativement sur le cercle, \(\mathrm{d}F=0\), donc \(\mathrm{d}y=-(3/4)\times0{,}1=-0{,}075\) et \(y_1\simeq3{,}925\). Le calcul exact donne \(y_1=\sqrt{25-3{,}1^2}\simeq3{,}9230\), soit \(\Delta y\simeq-0{,}0770\). L’écart vient des termes \((\mathrm{d}x)^2\) et \((\mathrm{d}y)^2\) négligés par l’approximation.

8.5.2 Exercice 2 : mouvement ou changement de courbe

Considérons \(F(x,y;z)=xy+z-12=0\). Au point \((x,y,z)=(3,4,0)\) :

Calculez \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) lorsque \(z\) reste constant.
Le paramètre \(z\) augmente de \(0{,}6\). Si \(x\) reste égal à 3, approximez le changement de \(y\) nécessaire pour retrouver \(F=0\).
Identifiez le calcul qui décrit un mouvement le long d’une courbe et celui qui compare deux courbes.

Corrigé. La différentielle est \(\mathrm{d}F=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y+\mathrm{d}z\). À \(z\) constant, \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=-y/x=-4/3\) : c’est un mouvement le long de la courbe \(z=0\). À \(x\) constant, \(3\,\mathrm{d}y+0{,}6=0\), donc \(\mathrm{d}y=-0{,}2\) : on compare les courbes \(z=0\) et \(z=0{,}6\). Ici le résultat est exact car la relation est affine en \(z\) à \(x\) fixé.

8.5.3 Exercice 3 : pente et déplacement de IS

Soient \(C=5+0{,}75(Y-T)\), \(I=12-2r\), \(T=4\) et \(Y=C+I+G\).

Écrivez la différentielle totale de la condition IS lorsque \(T\) reste fixe.
Calculez la pente \(\left.\mathrm{d}r/\mathrm{d}Y\right|_G\).
Si \(G\) augmente de 2, de combien \(r\) doit-il changer pour maintenir \(Y\) constant ?
Si \(G\) augmente de 2, de combien \(Y\) doit-il changer pour maintenir \(r\) constant ?

Corrigé. À \(T\) fixe, \(0{,}25\,\mathrm{d}Y+2\,\mathrm{d}r-\mathrm{d}G=0\). La pente est \(-0{,}25/2=-0{,}125\). À \(Y\) constant, \(\mathrm{d}r=1\). À \(r\) constant, \(\mathrm{d}Y=8\).

8.5.4 Exercice 4 : la courbe LM

Soient \(L(Y,r)=0{,}5Y-10r\) et \(m=M^s/P\).

Calculez la pente de LM lorsque \(m\) reste constant.
Si \(m\) augmente de 5, calculez le déplacement vertical de LM (changement de \(r\) à \(Y\) constant).
Calculez aussi son déplacement horizontal (changement de \(Y\) à \(r\) constant).

Corrigé. La différentielle est \(\mathrm{d}m=0{,}5\,\mathrm{d}Y-10\,\mathrm{d}r\). La pente est \(0{,}05\). À \(Y\) constant, \(\mathrm{d}r=-0{,}5\) : LM descend de \(0{,}5\). À \(r\) constant, \(\mathrm{d}Y=10\) : LM se déplace de 10 vers la droite.

8.5.5 Exercice 5 : le test des axes

S’agit-il d’un mouvement le long de la courbe ou d’un déplacement de la courbe ?

Sur IS, \(Y\) augmente et \(r\) s’ajuste, avec \(G\) et \(T\) inchangés.
Le gouvernement augmente \(G\).
Sur LM, \(Y\) diminue et \(r\) s’ajuste, avec \(M^s/P\) inchangé.
La banque centrale augmente \(M^s\) alors que \(P\) est fixe.

Corrigé. 1. Mouvement le long de IS. 2. Déplacement de IS. 3. Mouvement le long de LM. 4. Déplacement de LM.