5  Exercices

5.1 Modèle de Solow

5.1.1 Exercice 1

Fonction de production néoclassique. Montrez que la fonction de production de type Cobb-Douglas satisfait les conditions d’une fonction néoclassique.

Solution :

Les propriétés d’une fonction de production néoclassique sont les suivantes :

  1. Homogène de degré 1.
  2. Est croissante dans les facteurs de production.
  3. Montre des rendements décroissants.
  4. Satisfait les conditions d’Inada.

Ainsi, si la fonction de production est \(F\left[K, L\right] = K^\alpha L^{1-\alpha},\, \alpha \in (0,1)\), l’application directe de la définition d’homogénéité de premier degré donne :

\[ F[\lambda K, \lambda L] = \left(\lambda K\right)^\alpha \left(\lambda L\right)^{1-\alpha} = \lambda^\alpha K^\alpha \lambda^{1-\alpha} L^{1-\alpha} = \lambda K^\alpha L^{1-\alpha} = \lambda F[K, L]. \]

La fonction est aussi croissante dans les facteurs de production.

\[\frac{\partial F[K,L]}{\partial K} = \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} > 0.\]

\[\frac{\partial F[K,L]}{\partial L} = (1 - \alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} > 0.\]

Les facteurs montrent des rendements décroissants.

\[\frac{\partial^2 F[K,L]}{\partial K^2} = \alpha (\alpha - 1) K^{\alpha-2}L^{1-\alpha} < 0.\] \[\frac{\partial^2 F[K,L]}{\partial L^2} = (1 - \alpha)(-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha-1} < 0.\]

Finalement, les conditions d’Inada sont respectées (chaque limite est calculée en maintenant l’autre facteur strictement positif et constant) :

\[\lim_{K\rightarrow 0}F^\prime_{K}(K,L) = \lim_{K\rightarrow 0}\alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = \infty\] \[\lim_{L\rightarrow 0}F^\prime_{L}(K,L) = \lim_{L\rightarrow 0}(1-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} = \infty\] \[\lim_{K\rightarrow \infty}F^\prime_{K}(K,L) = \lim_{K\rightarrow \infty}\alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = 0\] \[\lim_{L\rightarrow \infty}F^\prime_{L}(K,L) = \lim_{L\rightarrow \infty}(1-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} = 0\]

La fonction satisfait également l’essentialité : \(F(0,L)=F(K,0)=0\).

5.1.2 Exercice 2

Montrez que, si les facteurs de production (travail et capital) sont rémunérés à leur productivité marginale, la rémunération totale épuise la production. C’est-à-dire, montrez que \(wL + rK = Y = F(K,L).\)

Solution :

Dans un premier temps, on peut se contenter d’évoquer le théorème d’Euler à propos des fonctions homogènes. Il dit que, si \(F(K,L)\) est une fonction homogène, alors \(F^\prime_K K + F^\prime_L L = \lambda F(K,L).\)

Comme la fonction de production est homogène de premier degré, \(\lambda = 1\) et on retrouve ce qu’on cherche :

\[ \overbrace{F^\prime_K}^{r} K + \overbrace{F^\prime_L}^{w} L = F(K,L). \]

Ainsi, le total des paiements épuise la production.

Il est possible de montrer cela d’une autre manière en partant de \(wL +rK\) et en utilisant les valeurs \(w = f(k) - f^\prime(k) k\) et \(r = f^\prime(k).\)

En effet, si l’on divise \(wL + rK\) par \(L\), on obtient \(w + rk = f(k) - f^\prime(k) k + f^\prime(k) k = f(k).\) Comme \(F(K,L) = Lf(k)\), on a \(Lf(k) = wL + rK.\)

5.1.3 Exercice 3

Avec une fonction de production de type Cobb-Douglas où \(Y=K^\alpha L^{1-\alpha},\, \alpha \in (0,1)\), montrez que :

  1. La fonction d’accumulation de capital suit \(\dot{k} = sk^\alpha -(n+\delta)k\).
  2. L’économie a deux états stationnaires : \(k^\star_0 = 0\) et \(k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}.\)
  3. Pour toute condition initiale \(k(0)>0\), l’économie ne converge pas vers le premier état stationnaire, mais elle converge vers le deuxième.

Solution :

  1. Pour trouver la fonction d’accumulation du capital en termes intensifs, il est nécessaire d’exprimer la production en termes intensifs. Ainsi :

    \[ y \equiv \frac{Y}{L} = \frac{1}{L}K^\alpha L^{1-\alpha} = k^\alpha. \]

    Le capital total s’accumule selon \[ \dot{K} = sF(K,L)-\delta K. \]

    Par conséquent, \[ \left(\dot{\frac{K}{L}}\right) = \frac{\dot{K}L-\dot{L}K}{L^2} = \frac{sK^\alpha L^{1-\alpha}-\delta K}{L} - n k = sk^\alpha - (n+\delta)k. \]

  2. L’état stationnaire est la valeur \(k\) telle que \(\dot{k} = 0\). Par conséquent :

    \[ \dot{k} = 0 \implies sk^\alpha = (n+\delta)k \implies k^\star_0 =0 \]

    ou \[ k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}. \]

  3. Nous pouvons étudier la convergence vers chaque état stationnaire comme suit :

    1. Prenons le premier, \(k^\star_0 = 0\). Quand \(k\) est positif et proche de cette valeur, \(\dot{k}\) est positif :

      1. Avec le diagramme de phase ci-dessous, on voit que lorsque \(k\) est positif et proche de 0, \(\dot{k} > 0.\) Comme \(k\) est proche de 0, la productivité du capital est importante et, par conséquent, une petite augmentation de celui-ci augmente beaucoup la production (car \(\lim_{k \rightarrow 0}f^\prime(k) = \infty\)). De l’autre côté, \((n+\delta)k\) ne va pas beaucoup augmenter car le terme est linéaire en \(k\).
      2. Il faut distinguer la variation absolue du capital de son taux de croissance proportionnel. Lorsque \(k\to0^+\), \[ \dot{k}=sk^\alpha-(n+\delta)k\to0, \qquad \frac{\dot{k}}{k}=sk^{\alpha-1}-(n+\delta)\to+\infty. \] Ainsi, \(\dot{k}\) est faible en niveau, mais strictement positif pour tout \(k>0\) suffisamment proche de zéro. La dérivée du champ \(sk^\alpha-(n+\delta)k\) n’est pas finie en \(k=0\), de sorte qu’une linéarisation en ce point n’est pas valide.

      En conclusion, \(\dot{k} > 0\) quand \(k\) est proche de 0. Ainsi, si une économie commence avec peu de capital, elle va en accumuler.

    2. Le deuxième état stationnaire est \(k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}\).

      1. Avec le diagramme de phase, si on se déplace à droite de l’état stationnaire, on a \(\dot{k} < 0\). Ceci est dû au fait qu’augmenter le capital génère plus de production, mais d’une manière décroissante (rendements marginaux décroissants). En revanche, la dépréciation est linéaire en \(k\) et affecte le capital de la même manière indépendamment de son niveau. Ainsi, on ajoute une petite augmentation de la production, qui va se traduire par une petite augmentation de l’épargne, mais on perd plus à cause de la dépréciation. L’effet total est donc une diminution du capital \(\dot{k} < 0.\) Donc, si on passe au-delà de l’état stationnaire, on perd du capital et donc on y revient. La même analyse peut se faire quand \(k\) est légèrement inférieur à \(k^\star_1\).
      2. La dérivée du champ dynamique est \(\frac{\partial \dot{k}}{\partial k} = s\alpha k^{\alpha-1} - (n+\delta).\) Si l’on évalue la dérivée à \(k = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}\), on obtient \((\alpha-1) (n+\delta) < 0\). Ainsi, autour de l’état stationnaire, on s’en approche.

      En conclusion, quand on est proche de \(k^\star_1\), si l’économie a un niveau de capital légèrement inférieur, elle va en accumuler. Et au contraire, si l’économie a un niveau de capital légèrement supérieur, elle va en perdre. Ainsi, l’économie converge vers l’état stationnaire \(k^\star_1.\)

Diagramme de phase de Solow

5.1.4 Exercice 4

Imaginez que, suite à une décision politique, les ménages épargnent davantage. Si on suppose qu’avant le changement l’économie était à son état stationnaire, quelles sont les conséquences de l’augmentation du taux d’épargne ? Expliquez les effets sur le capital par tête et la consommation par tête à court et à long terme. Pour simplifier, imaginez que la technologie ne s’améliore pas.

Solution :

Suite au changement, l’économie accumule davantage de capital. En effet, à l’état stationnaire (situation initiale), on avait

\[ \dot{k_0} = sf(k_0) - (n+\delta)k_0 = 0. \]

Si \(s\) augmente, \(\dot{k} > 0\) car \(\frac{\partial \dot{k}}{\partial s} = f(k_0) > 0\) et le capital par tête s’accumule. La consommation à l’état stationnaire était donnée par \(c = (1-s)f(k)\). Avec l’augmentation de \(s\), la consommation diminue.

À long terme, un nouvel état stationnaire est atteint. Ceci montrera un niveau de capital par tête plus élevé car l’économie a accumulé davantage de capital. En effet, le niveau de capital stationnaire est défini par

\[ \frac{f(k)}{k} = \frac{n+\delta}{s}. \]

Ainsi, si \(s\) augmente, la partie droite diminue et la partie gauche doit donc diminuer aussi. Le comportement de la partie gauche est donné par

\[ \frac{\partial \frac{f(k)}{k}}{\partial k} = \frac{f^\prime(k)k - f(k)}{k^2} = - \frac{w}{k^2} < 0. \]

Par conséquent, comme la partie gauche doit diminuer, il faut que \(k^\star\) augmente.

La consommation à l’état stationnaire était donnée par

\[ c = f(k) - (n+\delta)k \] car \(sf(k) = (n + \delta)k\).

Cette fonction a la forme d’un U inversé car \(f^\prime(k) - (n+\delta) > 0\) quand \(k\) est petit et \(<0\) quand \(k\) est grand. En plus, \(f^{\prime \prime} < 0.\) Le capital de la règle d’or, \(k^{\text{gold}}\), satisfait \(f^{\prime}(k^{\text{gold}}) = n+\delta\). Si le capital stationnaire initial est supérieur ou égal à ce niveau, \(k_0^\star\geq k^{\text{gold}}\), l’augmentation de \(s\) accroît encore le capital et réduit la consommation stationnaire.

Si, au contraire, \(k_0^\star<k^{\text{gold}}\), l’augmentation de \(s\) accroît la consommation stationnaire tant que le nouvel état stationnaire ne dépasse pas \(k^{\text{gold}}\). Une hausse plus forte, qui conduit au-delà de la règle d’or, peut augmenter ou diminuer la consommation stationnaire par rapport à son niveau initial.

Il est important de noter qu’à long terme, le capital par tête cesse d’augmenter et que le taux de croissance du capital sera toujours le même qu’avant le changement : \(\frac{\dot{K}}{K} = n.\)

5.1.5 Exercice 5

Dans le cadre du modèle de Solow (sans croissance exogène), montrez que deux états stationnaires existent.

Solution :

L’état stationnaire est défini comme la situation telle que \(\dot{k} = 0\). Dans le modèle simple,

\[ \dot{k} = sf(k)-(n+\delta)k. \]

Ainsi, l’état stationnaire implique

\[ sf(k) = (n+\delta)k. \]

On voit que, si \(k^\star = 0\), l’économie est stationnaire car \(f(0) = 0\) (hypothèse d’essentialité). Cet état stationnaire n’est pas très intéressant car sans capital la production est égale à \(0\), et sans production la consommation est également nulle.

Un deuxième état stationnaire avec \(k^\star > 0\) existe. La démonstration est plus simple si, au lieu de chercher à résoudre \(\dot{k} = 0\), on cherche à résoudre \(\frac{\dot{k}}{k} = 0\). Comme \(k^\star > 0\), la division de \(\dot{k}\) par \(k\) est possible.

Nous cherchons un \(k^\star\) tel que

\[ \frac{\dot{k}}{k} = s\frac{f(k)}{k} - (n+\delta) = 0. \]

Si on dénote par \(H(k)\) le taux de croissance du capital par tête, nous avons :

\[ H(k) \equiv \frac{\dot{k}}{k} = s\frac{f(k)}{k} -(n+\delta). \]

\[ \lim_{k\rightarrow 0} H(k) = +\infty \]

En effet,

\[ \lim_{k\rightarrow 0} \frac{sf(k)}{k} - (n+\delta) \]

est indéterminée (de type \(\frac{0}{0}\)). En appliquant la règle de l’Hôpital, la limite est équivalente à

\[ \lim_{k \rightarrow 0} \left[sf^\prime(k)-(n+\delta)\right] = +\infty \]

à cause des conditions d’Inada. Ainsi, quand \(k \to 0\), \(H(k)\) est positif.

En revanche,

\[ \lim_{k \rightarrow \infty} H(k) = - (n+\delta) < 0. \]

Enfin, la fonction \(H(k)\) est continue. Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une valeur \(k^\star > 0\) telle que \(H(k^\star) = 0\).

Nous pouvons aussi montrer de manière simple qu’il n’existe qu’une seule telle valeur. Pour ce faire, il suffit de montrer que la fonction \(H(k)\) est strictement décroissante. En effet,

\[ \frac{\partial H(k)}{\partial k} = s\frac{f^\prime(k)k - f(k)}{k^2} = (-1) s\frac{f(k) - f^\prime(k)k}{k^2} = (-1)s\frac{w}{k^2} < 0. \]

5.1.6 Exercice 6

Imaginez que la fonction de production est donnée par \(Y = AK + BL\).

  1. Est-ce que cette fonction de production est néoclassique ?
  2. Quelles sont les conditions des fonctions néoclassiques qui ne sont pas satisfaites ?
  3. Écrivez la fonction d’accumulation de capital pour le modèle de Solow.
  4. Sous quelles conditions l’économie converge-t-elle vers un état stationnaire ?
  5. Sous quelles conditions l’économie montre-t-elle une croissance endogène (sans fin) ?

Solutions :

  1. Non, la fonction de production n’est pas néoclassique. On suppose ici que \(A>0\) et \(B>0\).

  2. La fonction est homogène de degré un et croissante dans ses deux facteurs, mais les productivités marginales sont constantes : \[ F^\prime_K(K,L)=A, \qquad F^\prime_L(K,L)=B, \] \[ F^{\prime \prime}_{K}(K, L) = 0, \] \[ F^{\prime \prime}_{L}(K, L) = 0 \] Il n’y a donc pas de productivités marginales strictement décroissantes. Les quatre conditions d’Inada échouent : \(F^\prime_K=A\) lorsque \(K\to0\) ou \(K\to\infty\), et \(F^\prime_L=B\) lorsque \(L\to0\) ou \(L\to\infty\). La condition d’essentialité échoue également, car \(F(0,L)=BL>0\) pour \(L>0\) et \(F(K,0)=AK>0\) pour \(K>0\).

  3. Le capital continue de s’accumuler comme toujours : \(\dot{K} = sF(K,L) - \delta K.\) Ainsi, si \(k \equiv \frac{K}{L}\), nous avons que

    \[ \dot{k} = \frac{\dot{K}L - \dot{L}K}{L^2} = s(Ak + B) - \delta k - n k. \]

    Et donc,

    \[ \dot{k} = s(Ak + B) - (n+\delta)k. \]

  4. Le taux de croissance du capital par tête est :

    \[ \frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}. \]

    Le niveau de capital par tête stationnaire est : \[ \dot{k} = 0 \implies k^\star = \frac{sB}{n+\delta-sA}. \]

    Pour converger vers un état stationnaire positif, il faut que :

    1. Quand \(k\) est petit, le taux de croissance soit positif (typiquement élevé).
    2. Quand \(k \to \infty\), le taux de croissance soit négatif (quand \(k\) est trop grand, l’économie perd du capital). Avec \(\frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}\), on a :

    \[ \lim_{k \rightarrow 0^+} \frac{\dot{k}}{k} = +\infty \]

    \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta). \] Ainsi, pour avoir convergence il faut que

    \[ sA - (n+\delta) < 0, \] autrement dit \(sA < n+\delta.\) Avec cette condition, \(k^\star>0\) et, puisque \(\dot{k}=[sA-(n+\delta)]k+sB\), l’économie converge vers cet état stationnaire quel que soit \(k(0)>0\).

  5. Comme \(\frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}\), une croissance endogène soutenue exige \[ sA>n+\delta. \] Dans ce cas, \(k\) croît sans borne et son taux de croissance tend vers le taux positif \(sA-(n+\delta)\). Si \(sA=n+\delta\), alors \(\dot{k}=sB\) : le capital par tête croît aussi sans borne lorsque \(B>0\), mais seulement de façon linéaire, et son taux de croissance tend vers zéro. Si \(sA<n+\delta\), l’économie converge vers l’état stationnaire positif donné ci-dessus.

5.1.7 Exercice 7

Supposez que la fonction de production est de type CES :

\[ F(K,L) = (\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}. \]

Déterminez la fonction de production équivalente en termes intensifs et calculez le salaire et le taux d’intérêt.

Solution :

Si la fonction de production est \[ F(K,L) = (\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}, \] en termes intensifs, nous aurons :

\[\begin{align*} &y \equiv \frac{Y}{L} = \frac{(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}}{L} \\ &y = L^{-1}(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho} \\ &y = L^\frac{-\rho}{\rho} \left(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho\right)^\frac{1}{\rho} \\ &y = \left(L^{-\rho}\left[\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho\right]\right)^\frac{1}{\rho} \\ &y = \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^\frac{1}{\rho} \end{align*}\]

Le salaire et le taux d’intérêt peuvent être calculés en termes intensifs en utilisant les définitions :

\[\begin{align*} r &= f^\prime(k) = \alpha k^{\rho-1}\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}-1} \\ w &= f(k) - f^\prime(k) k \\ &= \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}} - \alpha k^\rho\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}-1} \\ &= \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha)\right)^{\frac{1}{\rho}-1}\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) - \alpha k^\rho\right) \\ &= (1-\alpha)(\alpha k^\rho + (1-\alpha))^{\frac{1}{\rho}-1} \end{align*}\]

5.1.8 Exercice 8

Si le taux d’intérêt d’un pays qui se trouve à l’état stationnaire est inférieur à \((n+\delta)\), quelle politique pourriez-vous proposer pour augmenter la consommation du pays de manière à ce que toutes les générations y gagnent ?

Solution :

La règle d’or établit que le niveau de capital qui maximise la consommation stationnaire satisfait : \[ f^\prime(k^{\text{gold}}) = n+\delta. \]

Supposons que le pays ait un niveau de capital stationnaire égal à \(k^\dagger\). Si son taux d’intérêt est inférieur à \(n+\delta\), alors \(f^\prime(k^\dagger)<n+\delta\). Comme \(f^\prime\) est décroissante, cela implique \(k^\dagger>k^{\text{gold}}\) : l’économie accumule trop de capital et se trouve en situation d’inefficacité dynamique.

Il faut réduire durablement le taux d’épargne jusqu’au taux qui soutient le capital de la règle d’or, \[ s^{\text{gold}}=\frac{(n+\delta)k^{\text{gold}}}{f(k^{\text{gold}})}. \] Ce taux est inférieur au taux d’épargne initial. Au moment de la réforme, le capital est prédéterminé et la baisse de l’épargne augmente donc immédiatement la consommation. Ensuite, \(k\) diminue progressivement vers \(k^{\text{gold}}\). Avec le taux \(s^{\text{gold}}\) constant, la consommation \((1-s^{\text{gold}})f(k)\) diminue le long de cette transition, mais reste au moins égale à sa valeur finale, qui est la consommation stationnaire maximale et qui dépasse la consommation de l’ancien état stationnaire. Par rapport au maintien de l’ancienne politique, la génération présente et toutes les générations futures consomment donc davantage.