5  Exercices

5.1 Modèle de Solow

5.1.1 Exercice 1

Fonction de production néoclassique. Montrez que la fonction de production de type Cobb-Douglas satisfait les conditions d’une fonction néoclassique.

Solution :

Les propriétés d’une fonction de production néoclassique sont les suivantes :

  1. Homogène de degré 1.
  2. Est croissante dans les facteurs de production.
  3. Montre des rendements décroissants.
  4. Satisfait les conditions d’Inada.

Ainsi, si la fonction de production est \(F\left[K, L\right] = K^\alpha L^{1-\alpha},\, \alpha \in (0,1)\), l’application directe de la définition d’homogénéité de premier degré donne :

\[ F[\lambda K, \lambda L] = \left(\lambda K\right)^\alpha \left(\lambda L\right)^{1-\alpha} = \lambda^\alpha K^\alpha \lambda^{1-\alpha} L^{1-\alpha} = \lambda K^\alpha L^{1-\alpha} = \lambda F[K, L]. \]

La fonction est aussi croissante dans les facteurs de production.

\[\frac{\partial F[K,L]}{\partial K} = \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} > 0.\]

\[\frac{\partial F[K,L]}{\partial L} = (1 - \alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} > 0.\]

Les facteurs montrent des rendements décroissants.

\[\frac{\partial^2 F[K,L]}{\partial K^2} = \alpha (\alpha - 1) K^{\alpha-2}L^{1-\alpha} < 0.\] \[\frac{\partial^2 F[K,L]}{\partial L^2} = (1 - \alpha)(-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha-1} < 0.\]

Finalement, les conditions d’Inada sont respectées (chaque limite est calculée en maintenant l’autre facteur strictement positif et constant) :

\[\lim_{K\rightarrow 0}F^\prime_{K}(K,L) = \lim_{K\rightarrow 0}\alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = \infty\] \[\lim_{L\rightarrow 0}F^\prime_{L}(K,L) = \lim_{L\rightarrow 0}(1-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} = \infty\] \[\lim_{K\rightarrow \infty}F^\prime_{K}(K,L) = \lim_{K\rightarrow \infty}\alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = 0\] \[\lim_{L\rightarrow \infty}F^\prime_{L}(K,L) = \lim_{L\rightarrow \infty}(1-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} = 0\]

La fonction satisfait également l’essentialité : \(F(0,L)=F(K,0)=0\).

5.1.2 Exercice 2

Montrez que, si les facteurs de production (travail et capital) sont rémunérés à leur productivité marginale, la rémunération totale épuise la production. C’est-à-dire, montrez que \(wL + rK = Y = F(K,L).\)

Solution :

Dans un premier temps, on peut se contenter d’évoquer le théorème d’Euler à propos des fonctions homogènes. Il dit que, si \(F(K,L)\) est une fonction homogène, alors \(F^\prime_K K + F^\prime_L L = \lambda F(K,L).\)

Comme la fonction de production est homogène de premier degré, \(\lambda = 1\) et on retrouve ce qu’on cherche :

\[ \overbrace{F^\prime_K}^{r} K + \overbrace{F^\prime_L}^{w} L = F(K,L). \]

Ainsi, le total des paiements épuise la production.

Il est possible de montrer cela d’une autre manière en partant de \(wL +rK\) et en utilisant les valeurs \(w = f(k) - f^\prime(k) k\) et \(r = f^\prime(k).\)

En effet, si l’on divise \(wL + rK\) par \(L\), on obtient \(w + rk = f(k) - f^\prime(k) k + f^\prime(k) k = f(k).\) Comme \(F(K,L) = Lf(k)\), on a \(Lf(k) = wL + rK.\)

5.1.3 Exercice 3

Avec une fonction de production de type Cobb-Douglas où \(Y=K^\alpha L^{1-\alpha},\, \alpha \in (0,1)\), montrez que :

  1. La fonction d’accumulation de capital suit \(\dot{k} = sk^\alpha -(n+\delta)k\).
  2. L’économie a deux états stationnaires : \(k^\star_0 = 0\) et \(k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}.\)
  3. Pour toute condition initiale \(k(0)>0\), l’économie ne converge pas vers le premier état stationnaire, mais elle converge vers le deuxième.

Solution :

  1. Pour trouver la fonction d’accumulation du capital en termes intensifs, il est nécessaire d’exprimer la production en termes intensifs. Ainsi :

    \[ y \equiv \frac{Y}{L} = \frac{1}{L}K^\alpha L^{1-\alpha} = k^\alpha. \]

    Le capital total s’accumule selon \[ \dot{K} = sF(K,L)-\delta K. \]

    Par conséquent, \[ \left(\dot{\frac{K}{L}}\right) = \frac{\dot{K}L-\dot{L}K}{L^2} = \frac{sK^\alpha L^{1-\alpha}-\delta K}{L} - n k = sk^\alpha - (n+\delta)k. \]

  2. L’état stationnaire est la valeur \(k\) telle que \(\dot{k} = 0\). Par conséquent :

    \[ \dot{k} = 0 \implies sk^\alpha = (n+\delta)k \implies k^\star_0 =0 \]

    ou \[ k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}. \]

  3. Nous pouvons étudier la convergence vers chaque état stationnaire comme suit :

    1. Prenons le premier, \(k^\star_0 = 0\). Quand \(k\) est positif et proche de cette valeur, \(\dot{k}\) est positif :

      1. Avec le diagramme de phase ci-dessous, on voit que lorsque \(k\) est positif et proche de 0, \(\dot{k} > 0.\) Comme \(k\) est proche de 0, la productivité du capital est importante et, par conséquent, une petite augmentation de celui-ci augmente beaucoup la production (car \(\lim_{k \rightarrow 0}f^\prime(k) = \infty\)). De l’autre côté, \((n+\delta)k\) ne va pas beaucoup augmenter car le terme est linéaire en \(k\).
      2. Il faut distinguer la variation absolue du capital de son taux de croissance proportionnel. Lorsque \(k\to0^+\), \[ \dot{k}=sk^\alpha-(n+\delta)k\to0, \qquad \frac{\dot{k}}{k}=sk^{\alpha-1}-(n+\delta)\to+\infty. \] Ainsi, \(\dot{k}\) est faible en niveau, mais strictement positif pour tout \(k>0\) suffisamment proche de zéro. La dérivée du champ \(sk^\alpha-(n+\delta)k\) n’est pas finie en \(k=0\), de sorte qu’une linéarisation en ce point n’est pas valide.

      En conclusion, \(\dot{k} > 0\) quand \(k\) est proche de 0. Ainsi, si une économie commence avec peu de capital, elle va en accumuler.

    2. Le deuxième état stationnaire est \(k^\star_1 = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}\).

      1. Avec le diagramme de phase, si on se déplace à droite de l’état stationnaire, on a \(\dot{k} < 0\). Ceci est dû au fait qu’augmenter le capital génère plus de production, mais d’une manière décroissante (rendements marginaux décroissants). En revanche, la dépréciation est linéaire en \(k\) et affecte le capital de la même manière indépendamment de son niveau. Ainsi, on ajoute une petite augmentation de la production, qui va se traduire par une petite augmentation de l’épargne, mais on perd plus à cause de la dépréciation. L’effet total est donc une diminution du capital \(\dot{k} < 0.\) Donc, si on passe au-delà de l’état stationnaire, on perd du capital et donc on y revient. La même analyse peut se faire quand \(k\) est légèrement inférieur à \(k^\star_1\).
      2. La dérivée du champ dynamique est \(\frac{\partial \dot{k}}{\partial k} = s\alpha k^{\alpha-1} - (n+\delta).\) Si l’on évalue la dérivée à \(k = \left(\frac{s}{n+\delta}\right)^\frac{1}{1-\alpha}\), on obtient \((\alpha-1) (n+\delta) < 0\). Ainsi, autour de l’état stationnaire, on s’en approche.

      En conclusion, quand on est proche de \(k^\star_1\), si l’économie a un niveau de capital légèrement inférieur, elle va en accumuler. Et au contraire, si l’économie a un niveau de capital légèrement supérieur, elle va en perdre. Ainsi, l’économie converge vers l’état stationnaire \(k^\star_1.\)

Diagramme de phase de Solow

5.1.4 Exercice 4

Imaginez que, suite à une décision politique, les ménages épargnent davantage. Si on suppose qu’avant le changement l’économie était à son état stationnaire, quelles sont les conséquences de l’augmentation du taux d’épargne ? Expliquez les effets sur le capital par tête et la consommation par tête à court et à long terme. Pour simplifier, imaginez que la technologie ne s’améliore pas.

Solution :

Suite au changement, l’économie accumule davantage de capital. En effet, à l’état stationnaire (situation initiale), on avait

\[ \dot{k_0} = sf(k_0) - (n+\delta)k_0 = 0. \]

Si \(s\) augmente, \(\dot{k} > 0\) car \(\frac{\partial \dot{k}}{\partial s} = f(k_0) > 0\) et le capital par tête s’accumule. La consommation à l’état stationnaire était donnée par \(c = (1-s)f(k)\). Avec l’augmentation de \(s\), la consommation diminue.

À long terme, un nouvel état stationnaire est atteint. Ceci montrera un niveau de capital par tête plus élevé car l’économie a accumulé davantage de capital. En effet, le niveau de capital stationnaire est défini par

\[ \frac{f(k)}{k} = \frac{n+\delta}{s}. \]

Ainsi, si \(s\) augmente, la partie droite diminue et la partie gauche doit donc diminuer aussi. Le comportement de la partie gauche est donné par

\[ \frac{\partial \frac{f(k)}{k}}{\partial k} = \frac{f^\prime(k)k - f(k)}{k^2} = - \frac{w}{k^2} < 0. \]

Par conséquent, comme la partie gauche doit diminuer, il faut que \(k^\star\) augmente.

La consommation à l’état stationnaire était donnée par

\[ c = f(k) - (n+\delta)k \] car \(sf(k) = (n + \delta)k\).

Cette fonction a la forme d’un U inversé car \(f^\prime(k) - (n+\delta) > 0\) quand \(k\) est petit et \(<0\) quand \(k\) est grand. En plus, \(f^{\prime \prime} < 0.\) Le capital de la règle d’or, \(k^{\text{gold}}\), satisfait \(f^{\prime}(k^{\text{gold}}) = n+\delta\). Si le capital stationnaire initial est supérieur ou égal à ce niveau, \(k_0^\star\geq k^{\text{gold}}\), l’augmentation de \(s\) accroît encore le capital et réduit la consommation stationnaire.

Si, au contraire, \(k_0^\star<k^{\text{gold}}\), l’augmentation de \(s\) accroît la consommation stationnaire tant que le nouvel état stationnaire ne dépasse pas \(k^{\text{gold}}\). Une hausse plus forte, qui conduit au-delà de la règle d’or, peut augmenter ou diminuer la consommation stationnaire par rapport à son niveau initial.

Il est important de noter qu’à long terme, le capital par tête cesse d’augmenter et que le taux de croissance du capital sera toujours le même qu’avant le changement : \(\frac{\dot{K}}{K} = n.\)

5.1.5 Exercice 5

Dans le cadre du modèle de Solow (sans croissance exogène), montrez que deux états stationnaires existent.

Solution :

L’état stationnaire est défini comme la situation telle que \(\dot{k} = 0\). Dans le modèle simple,

\[ \dot{k} = sf(k)-(n+\delta)k. \]

Ainsi, l’état stationnaire implique

\[ sf(k) = (n+\delta)k. \]

On voit que, si \(k^\star = 0\), l’économie est stationnaire car \(f(0) = 0\) (hypothèse d’essentialité). Cet état stationnaire n’est pas très intéressant car sans capital la production est égale à \(0\), et sans production la consommation est également nulle.

Un deuxième état stationnaire avec \(k^\star > 0\) existe. La démonstration est plus simple si, au lieu de chercher à résoudre \(\dot{k} = 0\), on cherche à résoudre \(\frac{\dot{k}}{k} = 0\). Comme \(k^\star > 0\), la division de \(\dot{k}\) par \(k\) est possible.

Nous cherchons un \(k^\star\) tel que

\[ \frac{\dot{k}}{k} = s\frac{f(k)}{k} - (n+\delta) = 0. \]

Si on dénote par \(H(k)\) le taux de croissance du capital par tête, nous avons :

\[ H(k) \equiv \frac{\dot{k}}{k} = s\frac{f(k)}{k} -(n+\delta). \]

\[ \lim_{k\rightarrow 0} H(k) = +\infty \]

En effet,

\[ \lim_{k\rightarrow 0} \frac{sf(k)}{k} - (n+\delta) \]

est indéterminée (de type \(\frac{0}{0}\)). En appliquant la règle de l’Hôpital, la limite est équivalente à

\[ \lim_{k \rightarrow 0} \left[sf^\prime(k)-(n+\delta)\right] = +\infty \]

à cause des conditions d’Inada. Ainsi, quand \(k \to 0\), \(H(k)\) est positif.

En revanche,

\[ \lim_{k \rightarrow \infty} H(k) = - (n+\delta) < 0. \]

Enfin, la fonction \(H(k)\) est continue. Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une valeur \(k^\star > 0\) telle que \(H(k^\star) = 0\).

Nous pouvons aussi montrer de manière simple qu’il n’existe qu’une seule telle valeur. Pour ce faire, il suffit de montrer que la fonction \(H(k)\) est strictement décroissante. En effet,

\[ \frac{\partial H(k)}{\partial k} = s\frac{f^\prime(k)k - f(k)}{k^2} = (-1) s\frac{f(k) - f^\prime(k)k}{k^2} = (-1)s\frac{w}{k^2} < 0. \]

5.1.6 Exercice 6

Imaginez que la fonction de production est donnée par \(Y = AK + BL\).

  1. Est-ce que cette fonction de production est néoclassique ?
  2. Quelles sont les conditions des fonctions néoclassiques qui ne sont pas satisfaites ?
  3. Écrivez la fonction d’accumulation de capital pour le modèle de Solow.
  4. Sous quelles conditions l’économie converge-t-elle vers un état stationnaire ?
  5. Sous quelles conditions l’économie montre-t-elle une croissance endogène (sans fin) ?

Solutions :

  1. Non, la fonction de production n’est pas néoclassique. On suppose ici que \(A>0\) et \(B>0\).

  2. La fonction est homogène de degré un et croissante dans ses deux facteurs, mais les productivités marginales sont constantes : \[ F^\prime_K(K,L)=A, \qquad F^\prime_L(K,L)=B, \] \[ F^{\prime \prime}_{K}(K, L) = 0, \] \[ F^{\prime \prime}_{L}(K, L) = 0 \] Il n’y a donc pas de productivités marginales strictement décroissantes. Les quatre conditions d’Inada échouent : \(F^\prime_K=A\) lorsque \(K\to0\) ou \(K\to\infty\), et \(F^\prime_L=B\) lorsque \(L\to0\) ou \(L\to\infty\). La condition d’essentialité échoue également, car \(F(0,L)=BL>0\) pour \(L>0\) et \(F(K,0)=AK>0\) pour \(K>0\).

  3. Le capital continue de s’accumuler comme toujours : \(\dot{K} = sF(K,L) - \delta K.\) Ainsi, si \(k \equiv \frac{K}{L}\), nous avons que

    \[ \dot{k} = \frac{\dot{K}L - \dot{L}K}{L^2} = s(Ak + B) - \delta k - n k. \]

    Et donc,

    \[ \dot{k} = s(Ak + B) - (n+\delta)k. \]

  4. Le taux de croissance du capital par tête est :

    \[ \frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}. \]

    Le niveau de capital par tête stationnaire est : \[ \dot{k} = 0 \implies k^\star = \frac{sB}{n+\delta-sA}. \]

    Pour converger vers un état stationnaire positif, il faut que :

    1. Quand \(k\) est petit, le taux de croissance soit positif (typiquement élevé).
    2. Quand \(k \to \infty\), le taux de croissance soit négatif (quand \(k\) est trop grand, l’économie perd du capital). Avec \(\frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}\), on a :

    \[ \lim_{k \rightarrow 0^+} \frac{\dot{k}}{k} = +\infty \]

    \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta). \] Ainsi, pour avoir convergence il faut que

    \[ sA - (n+\delta) < 0, \] autrement dit \(sA < n+\delta.\) Avec cette condition, \(k^\star>0\) et, puisque \(\dot{k}=[sA-(n+\delta)]k+sB\), l’économie converge vers cet état stationnaire quel que soit \(k(0)>0\).

  5. Comme \(\frac{\dot{k}}{k} = sA - (n+\delta) + \frac{sB}{k}\), une croissance endogène soutenue exige \[ sA>n+\delta. \] Dans ce cas, \(k\) croît sans borne et son taux de croissance tend vers le taux positif \(sA-(n+\delta)\). Si \(sA=n+\delta\), alors \(\dot{k}=sB\) : le capital par tête croît aussi sans borne lorsque \(B>0\), mais seulement de façon linéaire, et son taux de croissance tend vers zéro. Si \(sA<n+\delta\), l’économie converge vers l’état stationnaire positif donné ci-dessus.

5.1.7 Exercice 7

Supposez que la fonction de production est de type CES :

\[ F(K,L) = (\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}. \]

Déterminez la fonction de production équivalente en termes intensifs et calculez le salaire et le taux d’intérêt.

Solution :

Si la fonction de production est \[ F(K,L) = (\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}, \] en termes intensifs, nous aurons :

\[\begin{align*} &y \equiv \frac{Y}{L} = \frac{(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho}}{L} \\ &y = L^{-1}(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho)^\frac{1}{\rho} \\ &y = L^\frac{-\rho}{\rho} \left(\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho\right)^\frac{1}{\rho} \\ &y = \left(L^{-\rho}\left[\alpha K^\rho + (1-\alpha) L^\rho\right]\right)^\frac{1}{\rho} \\ &y = \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^\frac{1}{\rho} \end{align*}\]

Le salaire et le taux d’intérêt peuvent être calculés en termes intensifs en utilisant les définitions :

\[\begin{align*} r &= f^\prime(k) = \alpha k^{\rho-1}\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}-1} \\ w &= f(k) - f^\prime(k) k \\ &= \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}} - \alpha k^\rho\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) \right)^{\frac{1}{\rho}-1} \\ &= \left(\alpha k^\rho + (1-\alpha)\right)^{\frac{1}{\rho}-1}\left(\alpha k^\rho + (1-\alpha) - \alpha k^\rho\right) \\ &= (1-\alpha)(\alpha k^\rho + (1-\alpha))^{\frac{1}{\rho}-1} \end{align*}\]

5.1.8 Exercice 8

Si le taux d’intérêt d’un pays qui se trouve à l’état stationnaire est inférieur à \((n+\delta)\), quelle politique pourriez-vous proposer pour augmenter la consommation du pays de manière à ce que toutes les générations y gagnent ?

Solution :

La règle d’or établit que le niveau de capital qui maximise la consommation stationnaire satisfait : \[ f^\prime(k^{\text{gold}}) = n+\delta. \]

Supposons que le pays ait un niveau de capital stationnaire égal à \(k^\dagger\). Si son taux d’intérêt est inférieur à \(n+\delta\), alors \(f^\prime(k^\dagger)<n+\delta\). Comme \(f^\prime\) est décroissante, cela implique \(k^\dagger>k^{\text{gold}}\) : l’économie accumule trop de capital et se trouve en situation d’inefficacité dynamique.

Il faut réduire durablement le taux d’épargne jusqu’au taux qui soutient le capital de la règle d’or, \[ s^{\text{gold}}=\frac{(n+\delta)k^{\text{gold}}}{f(k^{\text{gold}})}. \] Ce taux est inférieur au taux d’épargne initial. Au moment de la réforme, le capital est prédéterminé et la baisse de l’épargne augmente donc immédiatement la consommation. Ensuite, \(k\) diminue progressivement vers \(k^{\text{gold}}\). Avec le taux \(s^{\text{gold}}\) constant, la consommation \((1-s^{\text{gold}})f(k)\) diminue le long de cette transition, mais reste au moins égale à sa valeur finale, qui est la consommation stationnaire maximale et qui dépasse la consommation de l’ancien état stationnaire. Par rapport au maintien de l’ancienne politique, la génération présente et toutes les générations futures consomment donc davantage.

5.2 Modèle de Ramsey

5.2.1 Exercice 1

Considérez le modèle de Ramsey avec une fonction de production Cobb-Douglas :

\[ f(k)=k^\alpha, \qquad 0<\alpha<1. \]

  1. Déterminez le capital stationnaire \(k^\star\) en fonction de \(\alpha\), \(\rho\) et \(\delta\).
  2. Montrez que le taux d’épargne stationnaire est \[ s^\star=\frac{\alpha(n+\delta)}{\rho+\delta}. \]
  3. Montrez que \(\rho>n\) implique \(s^\star<\alpha\).
  4. Montrez que le taux d’épargne associé à la règle d’or est \(s_{\mathrm{or}}=\alpha\).
  5. Expliquez économiquement pourquoi les ménages optimisateurs choisissent un taux d’épargne inférieur à celui de la règle d’or.
  6. Pourquoi \(\sigma\) n’apparaît-il ni dans \(k^\star\) ni dans \(s^\star\) ? Cela signifie-t-il que \(\sigma\) ne joue aucun rôle dans le modèle ?
  7. Considérez un modèle de Solow dans lequel le taux d’épargne exogène est fixé à la valeur \(s^\star\) trouvée ci-dessus. Comparez son état stationnaire à celui du modèle de Ramsey. Les deux modèles ont-ils pour autant les mêmes implications économiques ?

Solution :

  1. À l’état stationnaire, la consommation est constante. L’équation d’Euler impose donc \[ f'(k^\star)=\rho+\delta. \] Pour la fonction Cobb-Douglas, \(f'(k)=\alpha k^{\alpha-1}\). Par conséquent, \[ \alpha(k^\star)^{\alpha-1}=\rho+\delta, \] d’où \[ k^\star=\left(\frac{\alpha}{\rho+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}. \]

  2. Le taux d’épargne à chaque date est la part de la production qui n’est pas consommée : \[ s(t)=1-\frac{c(t)}{f(k(t))}. \] À l’état stationnaire, \(\dot{k}=0\) implique \[ f(k^\star)-c^\star=(n+\delta)k^\star. \] L’épargne stationnaire est donc égale à l’investissement nécessaire pour compenser la dépréciation et la dilution du capital : \[ s^\star=\frac{f(k^\star)-c^\star}{f(k^\star)} =\frac{(n+\delta)k^\star}{(k^\star)^\alpha} =(n+\delta)(k^\star)^{1-\alpha}. \] La condition obtenue à la première question donne \[ (k^\star)^{1-\alpha}=\frac{\alpha}{\rho+\delta}. \] Ainsi, \[ s^\star=\frac{\alpha(n+\delta)}{\rho+\delta}. \]

  3. Puisque \(\rho>n\), nous avons \(\rho+\delta>n+\delta\). Il s’ensuit que \[ \frac{n+\delta}{\rho+\delta}<1 \] et donc \[ s^\star=\alpha\frac{n+\delta}{\rho+\delta}<\alpha. \]

  4. La règle d’or maximise la consommation stationnaire \[ c=f(k)-(n+\delta)k. \] Sa condition du premier ordre est \[ f'(k_{\mathrm{or}})=n+\delta. \] Avec \(f(k)=k^\alpha\), cette condition devient \[ \alpha k_{\mathrm{or}}^{\alpha-1}=n+\delta. \] Le taux d’épargne qui soutient ce capital est \[ s_{\mathrm{or}} =\frac{(n+\delta)k_{\mathrm{or}}}{k_{\mathrm{or}}^\alpha} =(n+\delta)k_{\mathrm{or}}^{1-\alpha}. \] Or, la condition de la règle d’or implique \[ k_{\mathrm{or}}^{1-\alpha}=\frac{\alpha}{n+\delta}. \] Par conséquent, \[ s_{\mathrm{or}}=\alpha. \]

  5. La règle d’or maximise le niveau permanent de consommation, sans donner de poids particulier à la consommation des différentes dates. Les ménages du modèle de Ramsey actualisent au contraire l’utilité future. Lorsque \(\rho>n\), ils accordent relativement plus de valeur à la consommation présente qu’à la consommation des générations futures. Accumuler le capital de la règle d’or exigerait de renoncer à davantage de consommation aujourd’hui. Les ménages choisissent donc moins d’épargne et un capital stationnaire inférieur à celui de la règle d’or.

  6. Le paramètre \(\sigma\) apparaît dans l’équation d’Euler : \[ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\sigma}\left[f'(k)-\rho-\delta\right]. \] À l’état stationnaire, \(\dot{c}=0\). Comme \(\sigma>0\), le facteur \(1/\sigma\) ne modifie pas la condition \[ f'(k^\star)=\rho+\delta. \] Il ne détermine donc pas l’état stationnaire. En revanche, \(\sigma\) détermine la réaction de la croissance de la consommation à un écart entre le rendement net et le taux de préférence temporelle. Il influence la trajectoire de transition et la pente de la variété stable.

  7. Dans le modèle de Solow, le capital stationnaire satisfait \[ s f(k)=(n+\delta)k. \] Si l’on fixe \(s=s^\star\), le capital stationnaire du modèle de Solow est identique à celui du modèle de Ramsey. La consommation stationnaire est alors également identique.

    Cela ne rend pas les deux modèles équivalents. Dans le modèle de Solow, le taux d’épargne est imposé et reste constant pendant toute la transition. Le capital est la seule variable dynamique. Dans le modèle de Ramsey, le taux d’épargne résulte d’un choix intertemporel, varie généralement au cours du temps et la consommation peut s’ajuster immédiatement. Le modèle de Ramsey sélectionne une trajectoire particulière sur la variété stable, tandis que le modèle de Solow converge vers son état stationnaire selon une dynamique déterminée par le taux d’épargne exogène.

5.2.2 Exercice 2

L’équation d’Euler du modèle de Ramsey est

\[ \frac{\dot c}{c}=\frac{1}{\sigma}(r-\delta-\rho). \]

Supposez que \(\delta=0{,}05\) et \(\rho=0{,}03\).

  1. Calculez le taux de croissance de la consommation lorsque \(r=0{,}12\) et \(\sigma=1\).
  2. Déterminez le rendement brut pour lequel la consommation reste constante.
  3. Montrez qu’une hausse de \(\sigma\) réduit la réaction de la consommation à un écart donné entre \(r-\delta\) et \(\rho\), sans modifier le sens de cette réaction.
  4. Deux économies ont les mêmes valeurs de \(r\), \(\delta\) et \(\rho\), mais des valeurs différentes de \(\sigma\). Laquelle accepte la trajectoire de consommation la moins régulière ? Reliez votre réponse à l’élasticité de substitution intertemporelle.

Solution :

  1. En remplaçant les paramètres dans l’équation d’Euler, nous obtenons \[ \frac{\dot c}{c} =\frac{1}{1}(0{,}12-0{,}05-0{,}03) =0{,}04. \] La consommation augmente donc au taux instantané de \(4\,\%\).

  2. La consommation reste constante lorsque \[ \frac{\dot c}{c}=0. \] Puisque \(\sigma>0\), il faut que \[ r-\delta-\rho=0. \] Le rendement brut correspondant est donc \[ r=\rho+\delta=0{,}03+0{,}05=0{,}08. \]

  3. Notons \(x=r-\delta-\rho\). Pour un écart donné \(x\), le taux de croissance de la consommation est \(x/\sigma\). Comme \(\sigma>0\), son signe est toujours celui de \(x\) :

    • si \(r-\delta>\rho\), la consommation augmente ;
    • si \(r-\delta<\rho\), la consommation diminue ;
    • si \(r-\delta=\rho\), elle reste constante.

    Une hausse de \(\sigma\) augmente le dénominateur et réduit donc \(|\dot c/c|\). Elle ralentit la réaction de la consommation, mais ne peut pas transformer une hausse en baisse ou une baisse en hausse.

  4. Pour une utilité CRRA, l’élasticité de substitution intertemporelle est \[ \operatorname{EIS}=\frac{1}{\sigma}. \] L’économie qui a le plus faible \(\sigma\) possède donc l’élasticité de substitution intertemporelle la plus élevée. Pour un même écart \(r-\delta-\rho\), sa consommation varie davantage entre les dates. Elle accepte ainsi la trajectoire de consommation la moins régulière. À l’inverse, une économie avec un \(\sigma\) élevé cherche davantage à lisser sa consommation.

5.2.3 Exercice 3

Une économie se trouve initialement à son état stationnaire. Le taux de préférence temporelle \(\rho\) augmente de manière permanente, tandis que \(n\), \(\delta\), \(\sigma\) et la technologie restent inchangés.

  1. Montrez que le lieu \(\dot c=0\) se déplace vers la gauche.
  2. Expliquez pourquoi le lieu \(\dot k=0\) ne change pas.
  3. Montrez que le nouveau capital stationnaire est inférieur à l’ancien.
  4. Sachant que le capital ne peut pas changer instantanément, expliquez pourquoi la consommation doit augmenter immédiatement pour placer l’économie sur sa nouvelle trajectoire optimale.
  5. Décrivez qualitativement la transition du capital et de la consommation.
  6. À partir de \[ c^\star=f(k^\star)-(n+\delta)k^\star, \] montrez que \[ \frac{\mathrm{d}c^\star}{\mathrm{d}k^\star}=\rho-n>0 \] à l’état stationnaire. Déduisez-en l’effet de la hausse de \(\rho\) sur la consommation stationnaire.
  7. Expliquez comment une impatience accrue peut simultanément augmenter la consommation présente et réduire la consommation à long terme.

Solution :

  1. Le lieu \(\dot c=0\) est défini par \[ f'(k)=\rho+\delta. \] Une hausse de \(\rho\) augmente le membre de droite. Comme \(f'(k)\) est strictement décroissante, il faut un capital plus faible pour obtenir une productivité marginale plus élevée. Le lieu \(\dot c=0\), qui est une droite verticale dans le diagramme de phase, se déplace donc vers la gauche.

  2. Le lieu \(\dot k=0\) est donné par \[ c=f(k)-(n+\delta)k. \] Cette équation dépend de la technologie, de la croissance démographique et de la dépréciation, mais pas de \(\rho\). La hausse de l’impatience ne déplace donc pas ce lieu.

  3. Le capital stationnaire est défini par \[ f'(k^\star)=\rho+\delta. \] Comme \(f'\) est décroissante, une hausse de \(\rho\) implique une baisse de \(k^\star\). Graphiquement, le nouvel état stationnaire est l’intersection entre le lieu \(\dot k=0\), qui ne bouge pas, et le nouveau lieu \(\dot c=0\), situé plus à gauche.

  4. Au moment du choc, le stock de capital est prédéterminé : il ne peut pas sauter. La consommation est en revanche une variable de choix et peut s’ajuster immédiatement. Si elle restait à son ancien niveau, l’économie demeurerait initialement sur le lieu \(\dot k=0\) et le capital ne commencerait pas à diminuer. Pour rejoindre le nouvel état stationnaire, situé à un niveau de capital plus faible, la consommation doit sauter au-dessus du lieu \(\dot k=0\). Nous avons alors \[ \dot k=f(k)-c-(n+\delta)k<0. \] Ce saut place l’économie sur la nouvelle variété stable.

  5. Juste après le choc, la consommation augmente tandis que le capital reste à son niveau initial. Comme ce capital est supérieur au nouveau \(k^\star\), nous avons \[ f'(k)<\rho+\delta \] avec la nouvelle valeur de \(\rho\). L’équation d’Euler implique alors \(\dot c<0\). En même temps, le saut de consommation place l’économie dans la région où \(\dot k<0\). Le capital et la consommation diminuent donc progressivement le long de la nouvelle variété stable jusqu’au nouvel état stationnaire.

  6. La consommation stationnaire est la production nette de l’investissement nécessaire au maintien du capital : \[ c^\star=f(k^\star)-(n+\delta)k^\star. \] La pente de cette relation par rapport au capital est \[ \frac{\mathrm{d}c^\star}{\mathrm{d}k^\star} =f'(k^\star)-(n+\delta). \] À l’état stationnaire de Ramsey, \(f'(k^\star)=\rho+\delta\). Par conséquent, \[ \frac{\mathrm{d}c^\star}{\mathrm{d}k^\star} =\rho+\delta-(n+\delta) =\rho-n>0. \] Les états stationnaires de Ramsey se trouvent donc sur la partie croissante de la courbe de consommation stationnaire. Puisque la hausse de \(\rho\) réduit \(k^\star\), elle réduit également \(c^\star\).

  7. Une société plus impatiente attribue moins de poids à l’utilité future et davantage à la consommation présente. Il devient donc optimal d’augmenter immédiatement la consommation et de réduire l’épargne. Cette décision accroît l’utilité selon les nouvelles préférences de la société, mais elle ralentit l’accumulation du capital. Le stock de capital et la capacité productive diminuent alors progressivement. À long terme, l’économie dispose de moins de production et soutient un niveau de consommation stationnaire plus faible. La hausse initiale de la consommation est ainsi obtenue au prix d’une consommation future plus faible.