4  Le modèle de Ramsey

Le modèle de Ramsey, un modèle de croissance néoclassique, a été élaboré par Frank Ramsey en 1928. Bien qu’il partage des similitudes avec le modèle de Solow, il présente plusieurs différences majeures.

• Dans le modèle de Ramsey, l’épargne est endogénéisée. En d’autres termes, il explique comment les agents économiques déterminent leur taux d’épargne. Par opposition, le modèle de Solow considère le taux d’épargne comme exogène, c’est-à-dire fixé en dehors du modèle et non expliqué par les décisions des agents. Le modèle de Ramsey montre que le taux d’épargne optimal est influencé par divers facteurs, tels que le taux de croissance de la population, le rendement du capital et la disposition des ménages à substituer de la consommation entre les périodes.
• Le modèle de Ramsey intègre l’intertemporalité, signifiant que les agents économiques prennent en compte les conséquences futures de leurs décisions actuelles. À l’inverse, le modèle de Solow ne modélise pas explicitement cet arbitrage intertemporel.
• Enfin, le modèle de Ramsey repose sur l’optimisation du bien-être des ménages sur un horizon infini. Le modèle de Solow, en revanche, ne résout pas un tel problème de maximisation.

Dans le modèle de Ramsey, ces déterminants modifient les choix intertemporels et donc le taux d’épargne, alors que celui-ci reste fixé dans le modèle de Solow. L’endogénéisation de l’épargne permet ainsi d’analyser explicitement les décisions de consommation des ménages plutôt que de les imposer au modèle.

Le modèle de Ramsey a été employé pour analyser un vaste ensemble de problématiques économiques, telles que la croissance économique, l’épargne, l’investissement, l’éducation et l’environnement. Il représente un outil crucial pour les économistes cherchant à comprendre les mécanismes sous-jacents à la croissance économique et à élaborer des politiques économiques susceptibles d’améliorer le bien-être économique.

4.1 Hypothèses

Dans le modèle de Ramsey, les agents cherchent à optimiser leur comportement pour maximiser leur utilité. La version simplifiée du modèle inclut deux catégories d’agents :

• Producteurs
• Consommateurs

Les agents de chaque catégorie présentent des caractéristiques similaires :

• Nombreux et identiques, un seul agent représentatif est modélisé pour chaque catégorie.
• La concurrence est pure et parfaite sur l’ensemble des marchés :
  • Marché du travail
  • Marché du capital
  • Marché des biens
• Les agents ont une capacité de prévision parfaite du futur, ce qui implique qu’ils disposent d’une clairvoyance parfaite.¹

4.1.1 Producteurs

Dans le modèle de Ramsey, un grand nombre d’entreprises identiques produisent un bien homogène à l’aide de la même technologie. Pour produire, les entreprises louent du capital et embauchent des travailleurs.

La production utilise une fonction de production identique à celle du modèle de Solow :

• Elle est homogène de degré un (pour tous les facteurs de production rivaux)
• La production est croissante pour chaque facteur de production
• Elle présente des productivités marginales décroissantes
• Elle respecte les conditions d’Inada

Dans le modèle de Ramsey, les fonctions de production sous forme intensive, c’est-à-dire par travailleur, sont utilisées : \(y(t) = f(k(t))\)

4.1.1.1 Fonction de production Cobb-Douglas

Dans ce qui suit, pour simplifier l’analyse, on utilisera la fonction de production Cobb-Douglas suivante :

\[ Y(t) = F\left[K(t), L(t)\right] = K(t)^\alpha L(t)^{1-\alpha}, \alpha \in (0,1) \]

Cette fonction de production respecte toutes les hypothèses requises du modèle.

\[ \begin{aligned} Y &= F[K, L] = K^\alpha L^{1-\alpha} \implies \\ & \implies \frac{Y}{L} \equiv y = \frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L} = K^\alpha L^{-\alpha} = \left(\frac{K}{L}\right)^\alpha = k^\alpha. \end{aligned} \]

4.1.1.2 Salaire et rémunération du capital

Les facteurs de production, tels que le travail et le capital, sont rémunérés en fonction de leur productivité marginale. Le modèle de Ramsey partage ici certaines caractéristiques avec le modèle de Solow : le salaire et la rémunération du capital sont déterminés par les productivités marginales.

On note \(r\) le taux de location brut du capital, avant dépréciation. En concurrence parfaite, il est donné par : \[ \begin{aligned} r &= \frac{\partial F[K,L]}{\partial K} \\ &= \frac{\partial L f(K/L)}{\partial K} \\ &= L f^\prime(K/L)\frac{1}{L} = f^\prime(k). \end{aligned} \]

Pour la fonction de production Cobb-Douglas, le taux de location brut est : \[ \begin{aligned} r &= \frac{\partial K^\alpha L^{1-\alpha}}{\partial K} \\ &= \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = \alpha k^{\alpha-1}. \end{aligned} \]

Comme le capital se déprécie au taux \(\delta\), son rendement net est \(r-\delta\). Cette convention sera utilisée dans toute la suite.

Le salaire est déterminé en calculant la productivité marginale du travail (\(L\)) : \[ \begin{aligned} w &= \frac{\partial F[K,L]}{\partial L} \\ &= \frac{\partial L f(K/L)}{\partial L} \\ &= f(K/L) - f^\prime(K/L)\frac{K}{L} \\ &= f(k) - f^\prime(k)k. \end{aligned} \]

Avec la fonction de production Cobb-Douglas, le salaire est calculé comme suit : \[ \begin{aligned} w &= \frac{\partial K^\alpha L^{1-\alpha}}{\partial L} \\ &= (1-\alpha)K^\alpha L^{-\alpha} = (1-\alpha)k^\alpha. \end{aligned} \] Dans ce cas, le salaire augmente à mesure que la quantité de capital par travailleur, \(k\), augmente.

4.1.2 Ménages

Contrairement aux entreprises, le traitement des ménages dans le modèle de Ramsey est très différent de celui du modèle de Solow. En effet, dans le modèle de Solow, les ménages étaient presque absents : ils épargnaient à un taux constant et exogène, sans que leur choix de consommation soit modélisé. Cela est radicalement différent dans le modèle de Ramsey : les décisions sont microfondées, ce qui signifie que les ménages maximisent leur utilité.

Les ménages tirent leur utilité de la consommation, ce qui est au cœur de leurs décisions d’épargne et d’investissement. Ils comprennent que la valeur d’une même consommation varie au cours du temps ; consommer aujourd’hui ne procure pas le même niveau de satisfaction que consommer dans un an, par exemple. En réduisant leur consommation aujourd’hui, ils peuvent épargner, obtenir un rendement et consommer davantage à l’avenir. Pour maximiser leur utilité, les ménages doivent arbitrer entre la consommation présente et la consommation future. Le modèle de Ramsey suppose que les ménages ont une durée de vie infinie, ce qui simplifie l’analyse de leurs choix intertemporels.

Finalement, de manière similaire au modèle de Solow, on postule que la population croît à un taux constant. Ainsi, la taille de la population à un moment donné est décrite par l’équation \(L(t)=L(0)e^{nt}\). Pour simplifier, nous posons \(L(0)=1\), où \(n>0\) est le taux de croissance de la population. Par conséquent,

\[ L(t) = e^{nt}. \]

Si \(C(t)\) est la consommation totale de l’économie à l’instant \(t\), la consommation par travailleur est donnée par \(c(t) \equiv \frac{C(t)}{L(t)}\). Comme chaque personne offre une unité de travail, elle coïncide ici avec la consommation par habitant.

4.1.2.1 Utilité des ménages

Pour le ménage représentatif, dont la taille croît au taux \(n\), nous exprimons l’utilité dynastique comme suit : \[ U = \int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} e^{nt} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} e^{-(\rho-n) t} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t \]

Dans cette équation :

• \(\rho > n\) représente le taux de préférence temporelle. Cette hypothèse assure notamment que le poids agrégé \(e^{-(\rho-n)t}\) décroît avec le temps.
• \(t\) symbolise le temps, considéré comme continu.
• \(c(t)\) désigne le niveau de consommation à l’instant \(t\).
• \(e^{nt}\) représente le nombre de membres du ménage et tient compte de la croissance démographique.
• \(u(\cdot)\) est la fonction d’utilité instantanée, qui mesure la satisfaction retirée de la consommation à un moment précis.

La fonction d’utilité instantanée \(u(\cdot)\) permet de convertir un niveau de consommation en un niveau d’utilité correspondant. Cette fonction est à la fois croissante et concave, ce qui indique que la consommation accroît l’utilité, mais à un rythme décroissant. L’utilité instantanée présente ainsi une utilité marginale décroissante, et non nécessairement une satiété. La fonction d’utilité CRRA (constant relative risk aversion) est fréquemment employée. Pour \(c>0\) et \(\sigma>0\), elle s’écrit : \[ u(c) = \begin{cases} \dfrac{c^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}, & \sigma \neq 1,\\ \ln(c), & \sigma = 1. \end{cases} \]

Le coefficient \(\sigma\) mesure l’aversion relative au risque. Dans ce modèle déterministe, son rôle essentiel est de déterminer l’élasticité de substitution intertemporelle, égale à \(1/\sigma\).

Le taux de préférence temporelle, noté ici \(\rho\), indique l’importance que les ménages accordent à la consommation présente par rapport à la consommation future. Un taux de préférence temporelle élevé implique que les ménages privilégient une consommation accrue aujourd’hui plutôt que dans le futur. Inversement, un taux de préférence temporelle faible suggère que les ménages sont plus enclins à consommer davantage dans le futur et moins aujourd’hui. Le terme \(e^{nt}\), qui apparaît comme un multiplicateur dans l’expression, représente la taille totale du ménage.

En effet, l’utilité totale est la somme des flux d’utilité instantanée, ici représentée par une intégrale. Pour illustrer ce point, imaginons un instant qu’un individu ne vive que pendant deux périodes, \(t=0\) et \(t=1\). Avec un facteur d’actualisation \(\beta\), son utilité totale serait \(U=u(c(0))+\beta u(c(1))=\sum_{t=0}^{1}\beta^t u(c(t))\). Cependant, puisque les individus sont supposés vivre indéfiniment et que le temps est considéré comme continu, nous utilisons l’expression précédente sous forme d’intégrale : \[ U=\int_0^\infty e^{-(\rho-n)t}u(c(t))\mathrm{d}t. \]

4.1.2.2 Contrainte budgétaire et capital

Dans le modèle de Ramsey, les ménages détiennent le capital, constitué grâce à l’épargne, et le louent aux entreprises. En outre, les ménages offrent leur travail aux entreprises. Ils perçoivent le taux de location brut \(r(t)\) sur le capital et le salaire \(w(t)\) sur le travail. Finalement, les ressources sont utilisées pour :

• Financer la consommation
• Épargner

Comme dans le modèle de Solow, le capital est accumulé grâce à l’épargne, ce qui souligne son rôle dans la croissance économique. La totalité du capital \(K(t)\) est détenue par les ménages. À chaque instant, \(\dot{K}(t)\) mesure la variation nette du stock de capital. L’investissement brut correspond à la part du revenu non consommée. De plus, une partie du capital se déprécie à un taux \(\delta\). Par conséquent, la variation du capital agrégé est donnée par :

\[ \dot{K}(t) = \overbrace{w(t)L(t) + r(t)K(t)}^{revenu} - C(t) - \delta K(t) \]

Si l’on souhaite obtenir l’évolution du capital par travailleur, il faut diviser par \(L(t)\) et tenir compte de la croissance de \(L(t)\).

\[ \begin{aligned} \dot{k}(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{K(t)}{L(t)}\right) = \frac{\dot{K}(t)L(t) - \dot{L}(t)K(t)}{L(t)^2} \\ \dot{k}(t) &= \frac{\left[w(t)L(t) + r(t)K(t) - C(t) - \delta K(t)\right]L(t) - \dot{L}(t)K(t)}{L(t)^2} \\ \dot{k}(t) &= w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t) \end{aligned} \]

On constate que :

• Un salaire ou un taux de location brut plus élevé accroît les ressources disponibles.
• Une consommation plus élevée réduit l’épargne.

4.2 Optimisation

Dans le modèle de Ramsey, les ménages choisissent leur niveau de consommation de manière optimale pour maximiser leur utilité. Nous avons tous les ingrédients nécessaires pour écrire et résoudre le problème d’optimisation.

La fonction objectif est la valeur de l’utilité totale :

\[ U = \int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} e^{nt} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t \]

Les ménages peuvent décider librement combien consommer, et cela détermine le niveau de capital futur.

\[ \dot{k}(t) = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t). \]

Le problème d’optimisation consiste donc à déterminer la trajectoire optimale de la consommation, \(c(t)\), qui maximise l’utilité intertemporelle des ménages, tout en respectant les contraintes liées à l’évolution du capital par travailleur, \(k(t)\).

4.2.1 Hamiltonien

Le problème des ménages est de nature dynamique, et les décisions prises à l’instant \(t\) ont des conséquences sur toutes les périodes futures. Si, par exemple, un ménage choisit d’augmenter sa consommation aujourd’hui, le niveau d’épargne se réduit, entraînant une baisse de l’accumulation du capital. De ce fait, il y aura moins de capital demain, ce qui réduira la production et les salaires tout en élevant le taux de location brut du capital, avec un effet sur le revenu des ménages.

Pour résoudre ce type de problème, on utilise un Hamiltonien. C’est une méthode mathématique permettant de déterminer la trajectoire optimale de la consommation en tenant compte de tous les effets en chaîne.

On écrit le Hamiltonien en valeur présente comme suit :

\[\begin{aligned} \mathcal{H} &= e^{-(\rho-n)t}u\left(c(t)\right) \\ &\quad + \lambda(t)\left[w(t)+r(t)k(t)-c(t)-\delta k(t)-nk(t)\right] \end{aligned} \]

Pour résoudre le problème, on utilise les deux conditions suivantes :

• \(\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} = 0\)
• \(\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k} + \dot{\lambda} = 0\)

Dans notre cas, ces dérivées sont les suivantes :

• \(\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} \implies e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c(t)) - \lambda(t) = 0\)
• \(\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k} + \dot{\lambda} \implies \lambda(t)\left[r(t) - \delta - n \right] + \dot{\lambda}(t) = 0\)

La condition de transversalité associée à ce Hamiltonien en valeur présente est \[ \lim_{t\to\infty}\lambda(t)k(t)=0. \] Elle exclut les trajectoires qui laisseraient asymptotiquement une valeur actualisée positive de capital inutilisé. À l’état stationnaire, \(\lambda(t)=e^{-(\rho-n)t}u'(c^\star)\) ; la condition est donc satisfaite lorsque \(\rho>n\), \(c^\star>0\) et \(k^\star\) est fini.

Nous avons maintenant un système comprenant deux équations dynamiques, en gardant à l’esprit que \(c\), \(\lambda\) et \(r\) sont des fonctions du temps :

\[ \begin{aligned} 0 =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c) - \lambda \\ 0 =& \lambda\left[r - \delta - n \right] + \dot{\lambda} \end{aligned} \]

Objectif : jusqu’à présent, le modèle nous a fourni une équation dynamique pour le capital : \[ \dot{k} = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t). \]

Cette équation montre comment le capital évolue en fonction du capital existant, \(k(t)\), et du niveau de consommation, \(c(t)\). Nous cherchons une équation analogue pour la consommation.

On voit bien que la deuxième équation inclut \(\lambda\) et \(\dot{\lambda}\). La première équation nous donne directement la valeur de \(\lambda\). Enfin, sachant que \(\dot{\lambda}\) est la dérivée de \(\lambda\) par rapport au temps, nous obtenons :

\[ \begin{aligned} \lambda =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c) \implies \\ \dot{\lambda} =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)(-(\rho-n)) + e^{-(\rho-n)t}u^{\prime \prime}(c)\dot{c} \\ \end{aligned} \]

En introduisant ces conditions dans la deuxième équation, celle-ci devient :

\[ \begin{aligned} 0 =& \lambda\left[r - \delta - n \right] + \dot{\lambda} \\ -\dot{\lambda} =& \lambda\left[r - \delta - n \right] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} -\left[\overbrace{e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)(-(\rho-n)) + e^{-(\rho-n)t}u^{\prime \prime}(c)\dot{c}}^{\dot{\lambda}}\right] =& \\ =\overbrace{e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)}^{\lambda}\left[r - \delta - n \right] \end{aligned} \]

En divisant les deux côtés par \(e^{-(\rho-n)t}>0\) :

\[ \begin{aligned} -\left[u^\prime(c)(-(\rho-n)) + u^{\prime \prime}(c)\dot{c}\right] =& u^\prime(c)\left[r - \delta - n \right] \\ u^\prime(c)(\rho-n) - u^{\prime \prime}(c)\dot{c} =& u^\prime(c)\left[r - \delta - n \right] \\ \rho-n - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime(c)}\dot{c} =& r - \delta - n \end{aligned} \]

Comme \(u^\prime(c) > 0\), on peut aussi diviser par cette valeur :

\[ \begin{aligned} \rho - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime(c)}\dot{c} =& r - \delta \\ \end{aligned} \]

L’élasticité de l’utilité marginale, qui est constante pour une utilité CRRA, vaut :

\[ \sigma = -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^{\prime} (c)}c \]

Ainsi

\[ \sigma = -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^\prime (c)}c \implies -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^\prime(c)} = \frac{\sigma}{c} \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} \rho - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime (c)}\dot{c} =& r - \delta \\ \rho + \frac{\sigma}{c}\dot{c} =& r - \delta \\ \frac{\dot{c}}{c} =& \frac{1}{\sigma}(r - \delta - \rho) \end{aligned} \]

Cette dernière équation s’appelle l’équation d’Euler et elle est fondamentale dans les modèles dynamiques.

4.2.1.1 \(\sigma\) et l’élasticité de substitution intertemporelle

Dans un modèle sans risque, \(\sigma\) intervient parce qu’il mesure la courbure de l’utilité et donc la disposition à substituer de la consommation entre deux dates. L’élasticité de substitution intertemporelle locale est \[ \operatorname{EIS}(c)=-\frac{u'(c)}{c\,u''(c)}. \] Pour l’utilité CRRA, \(u'(c)=c^{-\sigma}\) et \(u''(c)=-\sigma c^{-\sigma-1}\), d’où \[ \operatorname{EIS}=\frac{1}{\sigma}. \] Une valeur élevée de \(\sigma\) correspond donc à une faible volonté de déplacer la consommation d’une période à l’autre.

4.2.2 L’équation d’Euler

Dans le modèle de Ramsey, l’équation d’Euler s’écrit, en explicitant le fait que \(r\) varie avec le temps :

\[ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma}\left(r(t) - \delta - \rho\right) \]

Elle indique l’évolution de la consommation \(\dot{c}\). Le rapport \(\frac{\dot{c}}{c}\) est le taux de croissance de la consommation. Rappelons que si \(\dot{c} > 0\), la consommation augmente. Elle montre que :

• La consommation par travailleur augmente ou diminue selon l’écart entre le rendement net du capital, \(r(t)-\delta\), et le taux de préférence temporelle \(\rho\). Ceci correspond à l’arbitrage entre consommer aujourd’hui ou attendre :
  • D’un côté, les ménages sont impatients et préfèrent consommer aujourd’hui
  • De l’autre, attendre avant de consommer permet d’épargner davantage et de consommer davantage à l’avenir.
  • Un rendement net plus élevé rend l’épargne plus intéressante et augmente la croissance de la consommation.
  • Si les deux forces s’équilibrent, \(r(t)-\delta=\rho\), soit \(r(t)=\rho+\delta\), la consommation ne change pas (\(\dot{c}=0\)).
• Le rôle de \(\sigma\) est aussi important. \(\sigma\) est le coefficient d’aversion relative au risque et \(\frac{1}{\sigma}\) mesure l’élasticité de substitution intertemporelle. Ainsi, lorsque \(\sigma\) est élevé, l’élasticité est faible. Cette élasticité mesure la disposition à accepter des niveaux de consommation différents au cours du temps. Avec une valeur de \(\frac{1}{\sigma}\) faible, les ménages souhaitent limiter les écarts de consommation entre les périodes. Pour un écart donné entre \(r(t)-\delta\) et \(\rho\), le taux de croissance de la consommation est alors plus faible en valeur absolue.

4.3 Dynamiques

Nous avons vu que le comportement de l’économie dans le modèle de Ramsey se décrit par deux équations dynamiques : \[ \begin{aligned} \dot{k}(t) =& w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t) \\ \frac{\dot{c}}{c} =& \frac{1}{\sigma}(r(t) - \rho - \delta) \end{aligned} \]

La résolution de ce système d’équations permet d’obtenir l’évolution optimale du capital et de la consommation dans le modèle de Ramsey.

Nous avons aussi les valeurs d’équilibre du salaire et du taux de location brut, \(w(t)\) et \(r(t)\). Nous pouvons donc fermer le modèle et exprimer le système exclusivement en fonction de \(k(t)\) et \(c(t)\) :

\[ \begin{aligned} w(t) &= f(k(t)) - f^\prime (k(t)) k(t) \\ r(t) &= f^\prime (k(t)) \end{aligned} \]

Ainsi, en équilibre, \(\dot{k}(t) = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t)\) devient :

\[ \dot{k}(t) = f(k(t)) - c(t) - (n + \delta) k(t) \]

Cette équation a une interprétation simple : par travailleur, l’accumulation du capital est égale à la production moins la consommation, la dépréciation et la dilution due à la croissance de la population. Le terme \(n\) reflète la dilution du capital due à l’augmentation du nombre de travailleurs, car nous raisonnons par travailleur. Ainsi, le système dynamique est : \[ \begin{aligned} \dot{k}(t) =& \textcolor{red}{f(k(t))} - c(t) - (n + \delta) k(t) \\ \frac{\dot{c}}{c} =& \frac{1}{\sigma}(\textcolor{red}{f^\prime(k(t))} - \rho - \delta) \end{aligned} \]

4.3.1 État stationnaire

Comme dans le modèle de Solow, on s’intéresse à l’existence d’un ou de plusieurs états stationnaires, c’est-à-dire de situations dans lesquelles l’économie reste une fois qu’elle les a atteintes. Un état stationnaire est une situation où le capital et la consommation par travailleur sont constants. Le caractère stationnaire d’un point ne signifie pas qu’il est stable : la stabilité doit être étudiée à partir de la dynamique autour de ce point. Dans le modèle de Solow, il était facile de voir qu’un tel état existait, car \(\dot{k}=sf(k)-(n+\delta)k\) est une seule équation dynamique.

Dans le modèle de Ramsey, nous avons un système avec deux équations dynamiques. Cela veut dire que, dans l’état stationnaire, \(k\) et \(c\) doivent rester inchangés. Autrement dit, l’état stationnaire est caractérisé par :

\[ \begin{aligned} \dot{k} =& 0 \\ \dot{c} =& 0 \end{aligned} \]

On indique, comme avant, les variables stationnaires avec une étoile. Ainsi, \(k^\star\) et \(c^\star\) sont tels que :

\[ \begin{aligned} 0 =& f(k^\star) - c^\star - (n + \delta) k^\star \\ 0 =& \frac{1}{\sigma}(f^\prime(k^\star) - \rho - \delta) \end{aligned} \]

Sous les conditions d’Inada et l’hypothèse \(\rho>n\), il existe un unique état stationnaire intérieur avec \(k^\star>0\) et \(c^\star>0\).

NoteDémonstration

À partir de l’équation dynamique de la consommation, si \(\dot{c}=0\) et \(c>0\), nous obtenons :

• La condition \(f'(k^\star)=\rho+\delta\) détermine \(k^\star\) de manière unique, car \(f'\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).
• La règle d’or maximise la consommation stationnaire \(f(k)-(n+\delta)k\) et vérifie \(f'(k_{\mathrm{or}})=n+\delta\).
• Comme \(\rho>n\), nous avons \(\rho+\delta>n+\delta\). La décroissance de \(f'\) implique alors \(0<k^\star<k_{\mathrm{or}}\).
• Par concavité et sous les conditions d’Inada, \(c^\star=f(k^\star)-(n+\delta)k^\star>0\). Le capital stationnaire optimal se situe donc en dessous du niveau de la règle d’or.

La condition \(\rho>n\) assure aussi que le facteur d’actualisation effectif \(e^{-(\rho-n)t}\) tend vers zéro et que la condition de transversalité en valeur présente est vérifiée à cet état stationnaire. Ce n’est pas la condition de transversalité, à elle seule, qui place \(k^\star\) sous la règle d’or.

Pour analyser les deux variables, on étudie séparément les lieux où \(\dot{c}=0\) et \(\dot{k}=0\).

4.3.2 Lieu \(\dot{c}=0\)

Commençons par étudier la dynamique de la consommation dans le modèle de Ramsey. L’équation \(\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma}(f^\prime(k) - \rho - \delta)\) montre comment \(c\) évolue en fonction de \(k\) (car \(k\) est la seule variable qui apparaît). Premièrement, intéressons-nous aux valeurs de \(k\) pour lesquelles la consommation ne change pas. Cela nous permet d’obtenir une partie de l’état stationnaire, car il comprend à la fois \(k\) et \(c\). Si la consommation reste constante, alors \(\dot{c}=0\) et, par conséquent :

\[ \begin{aligned} 0 &= \frac{1}{\sigma}\left(f^\prime(k) - \rho - \delta\right). \\ 0 &= \left(f^\prime(k) - \rho - \delta\right). \\ k &= (f^\prime)^{-1}(\rho + \delta) \end{aligned} \]

La dernière ligne indique la valeur spécifique de \(k\) pour laquelle \(c\) ne change pas. Cependant, nous pouvons également démontrer de manière simple que lorsque \(k\) prend une valeur différente de cette valeur d’équilibre, la consommation \(c\) change. Procédons à cette démonstration.

La fonction \(f^\prime(k)\) est décroissante, avec \(\lim_{k\rightarrow 0}f^\prime(k) = \infty\) et \(\lim_{k\rightarrow +\infty} f^\prime(k) = 0.\) Puisque \(\rho+\delta>0\), il existe une valeur \(k\in(0,+\infty)\) telle que \(f^\prime(k)=\rho+\delta\). Ceci est une application du théorème des valeurs intermédiaires. Par exemple, si \(f(k)\) est une fonction Cobb-Douglas, alors \(f^\prime(k)=\alpha k^{\alpha-1}\) et la valeur de \(k\) pour laquelle \(\dot{c}=0\) est \(k=\left(\frac{\rho+\delta}{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}\). Visuellement :

Figure 4.1: Trouver \(k\) tel que \(\dot{c} = 0\)

Pour simplifier, notons \(k^\spadesuit\) la valeur telle que \(k=k^\spadesuit\implies\dot{c}=0\). Nous avons donc établi que \(k=k^\spadesuit\) implique \(\dot{c}=0\). Examinons maintenant ce qui se passe lorsque \(k\) prend une valeur différente, par exemple \(k>k^\spadesuit\). Pour ce faire, nous utilisons l’équation dynamique de \(c\) :

\[ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma}(f^\prime(k) - \rho - \delta). \]

Lorsque \(k > k^\spadesuit\), cela implique que \(f^\prime(k) < f^\prime(k^\spadesuit)\), car la fonction \(f^\prime(k)\) est décroissante. En revenant à notre équation dynamique de \(c\) :

\[ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma}(f^\prime(k) - \rho - \delta) < \frac{1}{\sigma}(f^\prime(k^\spadesuit) - \rho - \delta) = 0. \]

Nous observons que lorsque \(k > k^\spadesuit\), l’équation dynamique de \(c\) est négative, ce qui signifie que \(\dot{c} < 0\) et que la consommation diminue. Graphiquement :

Figure 4.2: Dynamiques de consommation

4.3.3 Lieu \(\dot{k}=0\)

Nous procédons de manière similaire pour le capital. Dans ce cas-là, nous cherchons les combinaisons de \(k\) et \(c\) pour lesquelles le capital reste inchangé. Cela apparaît dans l’équation dynamique du capital : \(\dot{k}=f(k)-c-(n+\delta)k\). Ainsi, si \(\dot{k} = 0\), alors \[ c = f(k) - (n+\delta)k \]

Le capital ne change donc pas le long de cette courbe.

Avec une fonction Cobb-Douglas, le capital reste constant si \(c = k^\alpha - (n+\delta)k.\) Il s’agit de combinaisons de capital et de consommation. Par exemple, si \(\alpha=0.3\), \(n=0.1\) et \(\delta=0.1\), lorsque \(k=1\) et \(c=1^{0.3}-(0.1+0.1)\times 1=0.8\), le capital ne change pas. Nous pouvons le vérifier car \(\dot{k} = 1^{0.3} - 0.8 - (0.1 + 0.1)\times 1 = 0.\) En revanche, si \(c = 0.5\), alors \(\dot{k} = 1^{0.3} - 0.5 - (0.1 + 0.1)\times 1 = 0.3 > 0\) et le capital augmente.

Nous pouvons tracer toutes les combinaisons de \(k\) et \(c\) qui impliquent \(\dot{k}=0\). Étant donné les propriétés de \(f(k)\) et le fait que \(\dot{k}=0\implies c=f(k)-(n+\delta)k\), cette courbe est strictement concave et en forme de cloche. Avec une technologie Cobb-Douglas, ce n’est pas une parabole. Graphiquement :

Figure 4.3: Dynamiques de capital

4.3.4 Diagramme de phase

L’état stationnaire de l’économie est défini comme la combinaison de \(k\) et \(c\) telle que \(\dot{k} = \dot{c} = 0.\) Ainsi, puisque nous avons deux courbes, une pour \(\dot{k}=0\) et une autre pour \(\dot{c}=0\), l’état stationnaire correspond au point où ces deux courbes se croisent.

Enfin, nous pouvons combiner les dynamiques de \(k\) et \(c\) pour trouver les dynamiques de l’économie grâce à un diagramme de phase. La combinaison divise l’espace en quatre zones, avec des dynamiques distinctes dans chacune d’elles.

• En bas à gauche : \(k\) augmente, \(c\) augmente
• En haut à gauche : \(k\) diminue, \(c\) augmente
• En bas à droite : \(k\) augmente, \(c\) diminue
• En haut à droite : \(k\) diminue, \(c\) diminue

La nature de l’état stationnaire se déduit du Jacobien du système. En notant \(G(k,c)=\dot{k}\) et \(H(k,c)=\dot{c}\), nous avons, à l’état stationnaire, \[ J^\star= \begin{pmatrix} f'(k^\star)-(n+\delta) & -1\\ \dfrac{c^\star}{\sigma}f''(k^\star) & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho-n & -1\\ \dfrac{c^\star}{\sigma}f''(k^\star) & 0 \end{pmatrix}. \] Son déterminant est \[ \det(J^\star)=\frac{c^\star}{\sigma}f''(k^\star)<0. \] Les deux valeurs propres sont donc de signes opposés : l’état stationnaire est un point-selle, et non un équilibre localement stable dans toutes les directions. Il possède une seule variété stable, de dimension un, avec deux branches autour de l’état stationnaire.

Figure 4.4: Diagramme de phase

Dans le modèle de Ramsey, les trajectoires qui ne se trouvent pas sur la variété stable ne sont pas optimales. Selon le côté où elles se situent, elles finissent par épuiser le capital tout en maintenant une consommation positive, ce qui devient irréalisable, ou elles tendent vers une consommation nulle et une suraccumulation du capital. La contrainte de faisabilité exclut le premier cas et la condition de transversalité exclut le second.

Figure 4.5: Trajectoires intégrées sur le diagramme de phase

Il existe donc une unique variété stable (saddle path), composée de deux branches, qui mène vers le point stationnaire. Pour chaque capital initial \(k(0)\) admissible, le ménage doit choisir l’unique consommation initiale située sur cette variété afin de converger vers l’état stationnaire.²

Note : dans le modèle de Ramsey, le capital stationnaire est inférieur au niveau de la règle d’or parce que \(\rho>n\). L’impatience des ménages réduit donc la consommation stationnaire par rapport à son maximum réalisable.

4.4 Conclusion

Le modèle de Ramsey admet un état stationnaire en point-selle. L’économie ne converge vers celui-ci que si la consommation initiale se place sur l’unique variété stable. Il se distingue du modèle de Solow parce que les ménages choisissent de manière optimale leur épargne. En effet, dans le modèle de Ramsey, le taux d’épargne est donné par : \[ s(t) = 1 - \frac{c(t)}{f(k(t))}. \]

Comme \(c(t)\) et \(f(k(t))\) n’évoluent pas nécessairement au même rythme, le taux d’épargne n’est plus constant.

Contrairement au modèle de Solow, les ménages du modèle de Ramsey doivent choisir la consommation initiale compatible avec le capital initial, qui est prédéterminé, afin d’éviter une trajectoire non optimale. À l’état stationnaire, \(\dot{c}=\dot{k}=0\) : le capital et la consommation par travailleur sont constants. En même temps, la consommation agrégée et le capital agrégé augmentent au taux \(n > 0\). Comme dans le modèle de Solow sans progrès technique, la croissance par travailleur est donc nulle à long terme. Une croissance positive et soutenue de la production et de la consommation par travailleur nécessite d’introduire un progrès technique exogène dans cette version du modèle. Ainsi, pour comprendre la croissance à long terme, il est nécessaire d’étudier l’évolution de la technologie, au sens large du résidu de Solow.

Comme le modèle de Ramsey repose sur l’hypothèse que les ménages optimisent leur consommation et leur épargne, il offre un outil pour étudier la réponse de l’économie à divers chocs, tels que les chocs technologiques, de demande ou d’offre. Il permet d’analyser la dynamique de l’économie à la suite de ces chocs et la manière dont les ménages ajustent leur comportement.

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1. La prévision parfaite du futur est une hypothèse simplificatrice qui élimine l’incertitude et permet de se concentrer sur les décisions optimales.

2. La condition de Blanchard-Kahn exige, pour une solution locale unique, autant de valeurs propres instables que de variables non prédéterminées. Ici, \(k\) est prédéterminé et \(c\) peut sauter. Le système possède une valeur propre instable et une variable de saut, ou, de manière équivalente, une valeur propre stable et une variable prédéterminée : il existe donc une trajectoire d’équilibre locale unique pour chaque \(k(0)\) proche de \(k^\star\).